Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\int 2 \sin (t) + 2 d t$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Paso 5

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$2 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$2 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Paso 7

Simplifica.

$- 2 \cos (t) + 2 t + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2})) + 2 \arcsin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + 2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + C$