Cálculo Ejemplos

$\int x^{- 6} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 6}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{5 x^{5}}) - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{x (5 x^{5})} d x$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 (x^{1} x^{5})} d x$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{1 + 5}} d x$

Paso 2.5

Suma $1$ y $5$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - - \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + 1 \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{1}{5 x^{6}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{6}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{- 6} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Reescribe $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$ como $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{x^{5} \cdot 5}) + C$

Paso 8.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5 \cdot x^{5}}) + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{5 (5 x^{5})} + C$

Paso 8.2.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}} + C$