Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $0$ y en $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Paso 7.3.4

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Paso 7.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 7.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Paso 8.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Paso 8.4

Suma $0$ y $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Paso 8.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 1}{2}$

Paso 8.7

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{2}$