Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 1.5

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Paso 5

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{2 π}{3}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)$

Paso 6.3

Suma $\sin (\frac{2 π}{3})$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 6.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.43301270 \dots$