Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 7.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Paso 9

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2

Expande $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.4

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.6

Multiplica $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.8

Factoriza el negativo.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2.9

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2.10

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Paso 9.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.13

Resta $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.14

Resta $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 13

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 17

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 17.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 17.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 17.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 17.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 17.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 17.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 17.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Paso 18

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Paso 19

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 20

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Paso 21

Sustituye y simplifica.

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Paso 21.1

Evalúa $u_{1}$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Paso 21.2

Evalúa $u_{1}$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Paso 21.3

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Paso 21.4

Simplifica.

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Paso 21.4.1

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Paso 21.4.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

Paso 22.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

Paso 22.3

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

Paso 22.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 π)$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 23.1.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Paso 23.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Paso 23.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Paso 23.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

Paso 23.3

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

Paso 23.4

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 23.5

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 23.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 23.7

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 23.8

Resta $π$ de $2 π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 23.9

Multiplica $\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 23.9.1

Multiplica $\frac{3}{8}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

Paso 23.9.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{3 π}{16}$

Paso 24

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π}{16}$

Forma decimal:

$0.58904862 \dots$