Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Paso 2

Sea $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - \cos (2 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Paso 2.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \cos (2 t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 2.1.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 2.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Paso 2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de $6$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 2.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Paso 2.5.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Paso 2.5.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Paso 2.5.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$u_{upper} = 7$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.3

Multiplica $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Paso 7

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $7$ y en $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Paso 8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{7}{5})$

Forma decimal:

$0.33647223 \dots$