Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\sin^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Factoriza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 6.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 6.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Paso 10

Combina $- u_{2}]_{1}^{0}$ y $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Evalúa $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ en $0$ y en $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 11.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Paso 11.2.7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Paso 11.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 11.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 11.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Paso 11.2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Paso 11.2.11.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Paso 11.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Paso 11.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Paso 11.2.14

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Paso 11.2.15

Suma $0$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 11.2.16

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Paso 11.2.17

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{2}{18}$

Paso 11.2.18

Cancela el factor común de $2$ y $18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.18.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Paso 11.2.18.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.18.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Paso 11.2.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Paso 11.2.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{1}$