Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x) + 3 x^{2} + \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2

Divide $\sec (x) \tan (x)$ por $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x}{1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2.2.5

Divide $3 x$ por $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 4

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\sec (x) + C + 3 \int x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 7.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 7.2.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 7.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 7.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 7.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\sec (x) + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\sec (x) + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$