Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 8.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 8.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 9

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Paso 11

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 12.2

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Paso 12.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Paso 13.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Paso 13.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Paso 13.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 13.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 14.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 14.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.14269908 \dots$

Paso 16