Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $9$ de $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.4

Reescribe $9 \sec^{2} (t)$ como ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ como un producto.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.4

Multiplica $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ por $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.5

Multiplica $3$ por $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.6

Cancela el factor común de $27$ y $24$ .

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Paso 2.2.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2.2.3.7

Multiplica $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ por $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.2.3.8

Multiplica $3$ por $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.2.3.9

Multiplica $2$ por $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.2.3.10

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.2.3.10.1

Factoriza $\sec (t)$ de $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.10.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Paso 2.2.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Paso 2.2.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{27}{16}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{27}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 5

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 8

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Paso 8.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Paso 8.5

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Paso 12

Combina $- u]_{1}^{2}$ y $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.4

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.7.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.7.2

Suma $- 6$ y $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Paso 13.2.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Paso 13.2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.12

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Paso 13.2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.14.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Paso 13.2.14.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Paso 13.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Paso 13.2.16

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Paso 13.2.17

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 13.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Paso 13.2.19

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Paso 13.2.20

Multiplica $\frac{27}{16}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Paso 13.2.21

Multiplica $27$ por $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Paso 13.2.22

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{108}{48}$

Paso 13.2.23

Cancela el factor común de $108$ y $48$ .

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Paso 13.2.23.1

Factoriza $12$ de $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Paso 13.2.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.23.2.1

Factoriza $12$ de $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Paso 13.2.23.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Paso 13.2.23.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{4}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9}{4}$

Forma decimal:

$2.25$

Forma de número mixto:

$2 \frac{1}{4}$

Paso 15