Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{π}$ y $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Paso 4

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 4.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Paso 4.5

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 7.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 7.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{x \sin (π x)}{π}$ en $\frac{1}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 9.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.3

Reescribe $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ como un producto.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.4

Multiplica $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.5

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.6

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Paso 9.3.7

Para escribir $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.8

Combina $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ y $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.11

Combina $- 2$ y $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.12

Combina $π$ y $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.13

Mueve $- 2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.14

Cancela el factor común de $π$ y $π^{2}$ .

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Paso 9.3.14.1

Factoriza $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.14.2.1

Factoriza $π$ de $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 9.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Paso 10.7

Para escribir $- \frac{0}{π}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 π$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.8.1

Multiplica $\frac{0}{π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Paso 10.8.2

Reordena los factores de $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Paso 10.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Paso 10.10

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Paso 10.11

Suma $1 - \frac{2}{π}$ y $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Paso 11.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Paso 11.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

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Paso 11.3.1

Multiplica $\frac{π - 2}{π}$ por $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Paso 11.3.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Paso 11.3.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Paso 11.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Paso 11.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Forma decimal:

$0.05783375 \dots$