Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Paso 3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \cos (x) d x$

Paso 5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{13 π}{6}$ y en $0$ .

$8 ((- \cos (\frac{13 π}{6})) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Paso 6.1.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{13 π}{6}$ y en $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + \cos (0)) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Paso 6.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - 0)$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) + 0)$

Paso 6.2.4

Suma $\sin (\frac{13 π}{6})$ y $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$8 (- \cos (\frac{π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$8 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.4.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.4.4

Reescribe la expresión.

$4 (- \sqrt{3}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Paso 6.3.7

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 6.3.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 6.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.9.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 6.3.9.2

Cancela el factor común.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 6.3.9.3

Reescribe la expresión.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2$

Paso 6.3.10

Suma $8$ y $2$ .

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Forma decimal:

$3.07179676 \dots$