Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 4

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 7

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 9.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Paso 9.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 10

Combina $\sin (u_{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $\sin (u_{1})$ en $\frac{3 π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Paso 14.2

Evalúa $- \cos (u_{2})$ en $\frac{3 π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Paso 14.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Paso 15.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Paso 15.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Paso 15.4

Suma $\sin (\frac{3 π}{4})$ y $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Paso 15.5

Combina $\frac{1}{16}$ y $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Paso 15.6

Para escribir $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Paso 15.7

Combina $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ y $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Paso 15.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Paso 15.9

Combina $16$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Paso 15.10

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 15.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Paso 15.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Paso 15.11

Multiplica $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Paso 16.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 16.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4

Simplifica el numerador.

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Paso 16.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4.4

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Paso 16.4.5.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Forma decimal:

$0.15088834 \dots$