Cálculo Ejemplos

$\int 3 \sqrt{\tan^{2} (4 x) + 1} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int 3 \sqrt{\sec^{2} (4 x)} d x$

Paso 1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 3 \sec (4 x) d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sec (4 x) d x$

Paso 3

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \sec (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 4

Combina $\sec (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec (u)}{4} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec (u) d u)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec (u) d u$

Paso 7

La integral de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) + C$