Cálculo Ejemplos

$\int 3 x e^{- 9 x} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x e^{- 9 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 9 x}$ .

$3 (x (- \frac{1}{9} e^{- 9 x}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 9 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$3 (x (- \frac{e^{- 9 x}}{9}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 9 x}}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Paso 3.3

Combina $e^{- 9 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - - \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + 1 \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x$ por $1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{- 9 x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - 9 x$ . Entonces $d u = - 9 d x$ , de modo que $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - 9 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 7.1.2

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u)$

Paso 8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int - \frac{e^{u}}{9} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- \int \frac{e^{u}}{9} d u))$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int e^{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} \int e^{u} d u)$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$ como $3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$ .

$3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x}{9} e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Paso 13.2.2

Combina $e^{- 9 x}$ y $\frac{x}{9}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Paso 13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{81}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{u}}{81}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 9 x$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9}) + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 9 x} x}{9}$ al numerador.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{9} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15.2.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 (3)} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15.2.3

Cancela el factor común.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 9 x}}{81}$ al numerador.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{81} + C$

Paso 15.3.2

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 (27)} + C$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 \cdot 27} + C$

Paso 15.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Paso 15.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Paso 15.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Paso 15.5

Reordena los factores en $- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27}$ .

$- \frac{x e^{- 9 x}}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} x e^{- 9 x} - \frac{1}{27} e^{- 9 x} + C$