Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{5} \frac{3 x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{4}^{5} \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$

Paso 2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.6.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.7.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 2.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{2} = (A) (x - 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$x^{2} = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.4

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 2.1.7.4.1

Factoriza $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.7.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{B (x - 2) (x - 3)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.4.2.4

Divide $B (x - 2) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.7

Expande $(B x - 2 B) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.7.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x (x - 3) - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.7.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.7.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.7.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.8.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.8.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x - 2 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.8.2

Resta $2 B x$ de $- 3 B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.9

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 2.1.7.9.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Paso 2.1.7.9.2

Divide $(C) {(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

Paso 2.1.7.10

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C ((x - 2) (x - 2))$

Paso 2.1.7.11

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.7.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Paso 2.1.7.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Paso 2.1.7.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 2.1.7.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.7.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.7.12.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 2.1.7.12.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 2.1.7.12.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Paso 2.1.7.12.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 2.1.7.13

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

Paso 2.1.7.14

Simplifica.

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Paso 2.1.7.14.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

Paso 2.1.7.14.2

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Paso 2.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.8.1

Mueve $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Paso 2.1.8.2

Mueve $6 B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x + 6 B + 4 C$

Paso 2.1.8.3

Mueve $- 3 A$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.1.8.4

Mueve $- 5 x B$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} + C x^{2} - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.1.8.5

Mueve $A x$ .

$x^{2} = B x^{2} + C x^{2} + A x - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = B + C$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 5 B - 4 C$

Paso 2.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $B$ en $1 = B + C$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $B + C = 1$ .

$B + C = 1$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1 - C$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = A - 5 B - 4 C$ por $1 - C$ .

$0 = A - 5 (1 - C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Simplifica $A - 5 (1 - C) - 4 C$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = A - 5 \cdot 1 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 = A - 5 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2.2.1.2

Resta $4 C$ de $5 C$ .

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = - 3 A + 6 B + 4 C$ por $1 - C$ .

$0 = - 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Paso 2.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.4.1

Simplifica $- 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$ .

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Paso 2.3.2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 3 A + 6 \cdot 1 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Paso 2.3.2.4.1.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 = - 3 A + 6 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Paso 2.3.2.4.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Paso 2.3.2.4.1.2

Suma $- 6 C$ y $4 C$ .

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Paso 2.3.3

Reordena $1$ y $- C$ .

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

Paso 2.3.4

Resuelve $A$ en $0 = A - 5 + C$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe la ecuación como $A - 5 + C = 0$ .

$A - 5 + C = 0$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Paso 2.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.4.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$A + C = 5$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Paso 2.3.4.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $A$ por $5 - C$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.5.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 3 A + 6 - 2 C$ por $5 - C$ .

$0 = - 3 (5 - C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.5.2.1

Simplifica $- 3 (5 - C) + 6 - 2 C$ .

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Paso 2.3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 3 \cdot 5 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.5.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$0 = - 15 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.5.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.5.2.1.2.1

Suma $- 15$ y $6$ .

$0 = 3 C - 9 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.5.2.1.2.2

Resta $2 C$ de $3 C$ .

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.6

Resuelve $C$ en $0 = C - 9$ .

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Paso 2.3.6.1

Reescribe la ecuación como $C - 9 = 0$ .

$C - 9 = 0$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.6.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $C$ por $9$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.7.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = 5 - C$ por $9$ .

$A = 5 - (9)$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.7.2.1

Simplifica $5 - (9)$ .

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Paso 2.3.7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$A = 5 - 9$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.7.2.1.2

Resta $9$ de $5$ .

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Paso 2.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = - C + 1$ por $9$ .

$B = - (9) + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Paso 2.3.7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.7.4.1

Simplifica $- (9) + 1$ .

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Paso 2.3.7.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$B = - 9 + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Paso 2.3.7.4.1.2

Suma $- 9$ y $1$ .

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

Paso 2.3.8

Enumera todas las soluciones.

$B = - 8, A = - 4, C = 9$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Paso 2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$3 (- (4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 7

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Paso 7.3

Resta $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Paso 7.5

Resta $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$3 (- 4 \int_{2}^{3} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - \int_{4}^{5} \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 11

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - (8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 12

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 13

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 13.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 13.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 13.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 13.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Paso 13.3

Resta $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 13.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Paso 13.5

Resta $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 13.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Paso 13.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{2}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Paso 15

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Paso 16

Sea $u_{3} = x - 3$ . Entonces $d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 16.1

Deja $u_{3} = x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 16.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 16.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 16.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 16.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 16.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 16.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{3} = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Paso 16.3

Resta $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 16.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{3} = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Paso 16.5

Resta $3$ de $5$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 16.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 16.7

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ , $d u_{3}$ y los nuevos límites de integración.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 17

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Paso 18

Sustituye y simplifica.

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Paso 18.1

Evalúa $- {u_{1}}^{- 1}$ en $3$ y en $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Paso 18.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $3$ y en $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Paso 18.3

Evalúa $\ln (| u_{3} |)$ en $2$ y en $1$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4

Simplifica.

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Paso 18.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.3

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.4

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.4.5.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.5.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (- 4 \frac{- 2 + 3}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.7

Suma $- 2$ y $3$ .

$3 (- 4 (\frac{1}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.8

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$3 (\frac{- 4}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.9

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 18.4.9.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$3 (\frac{2 (- 2)}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.4.9.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{- 2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.11

Para escribir $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot \frac{3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.12

Combina $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} + \frac{- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{- 2 - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.14

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 18.4.15

Para escribir $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3})$

Paso 18.4.16

Combina $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + \frac{9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3})$

Paso 18.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Paso 18.4.18

Multiplica $3$ por $9$ .

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Paso 18.4.19

Combina $3$ y $\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$ .

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Paso 18.4.20

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 18.4.20.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Paso 18.4.20.2

Divide $- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ por $1$ .

$- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 19.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 20.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 20.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Paso 20.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{1})$

Paso 20.5

Divide $2$ por $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Paso 21

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Forma decimal:

$6.98381128 \dots$

Paso 22