Cálculo Ejemplos

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Paso 2.2

Reescribe ${\sec (y)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (y)$ como $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Paso 4

Sea $u = \tan (y)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (y) d y$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \tan (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (y)$ con respecto a $y$ es $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 8.2

Simplifica.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$