Cálculo Ejemplos

$\int 2 \cos^{3} (4 x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \cos^{3} (4 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3

Combina $\cos^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Factoriza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\sin^{3} (4 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (4 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{2 \cdot 3} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{6} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \sin (4 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (4 x) + C$