Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Paso 2.3

Resta $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Paso 2.5.2

Suma $e$ y $0$ .

$u_{upper} = e$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Paso 4

Evalúa $\ln (| u |)$ en $e$ y en $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Paso 6.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Paso 6.3

Divide $e$ por $1$ .

$4 \ln (e)$

Paso 6.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 7