Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x + 1$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $6$ y $1$ .

$u_{lower} = 7$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $15$ y $1$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Paso 7.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- \frac{1}{2 u^{2}}$ en $16$ y en $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Paso 8.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Paso 8.2.4

Multiplica $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Paso 8.2.5

Para escribir $- \frac{1}{512}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Paso 8.2.6

Para escribir $\frac{1}{98}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Paso 8.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $25088$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{512}$ por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Paso 8.2.7.2

Multiplica $512$ por $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Paso 8.2.7.3

Multiplica $\frac{1}{98}$ por $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Paso 8.2.7.4

Multiplica $98$ por $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Paso 8.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Paso 8.2.9

Suma $- 49$ y $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Paso 8.2.10

Combina $2$ y $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Paso 8.2.11

Multiplica $2$ por $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Paso 8.2.12

Cancela el factor común de $414$ y $25088$ .

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Paso 8.2.12.1

Factoriza $2$ de $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Paso 8.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.12.2.1

Factoriza $2$ de $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Paso 8.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Paso 8.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{207}{12544}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{207}{12544}$

Forma decimal:

$0.01650191 \dots$

Paso 10