Cálculo Ejemplos

$\int_{2 π}^{4 π} \cos (\frac{x}{4}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{4}$ . Entonces $d u = \frac{1}{4} d x$ , de modo que $4 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Paso 1.5.2

Divide $π$ por $1$ .

$u_{upper} = π$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \cdot 4 d u$

Paso 2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 \cos (u) d u$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Paso 5

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$4 (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$4 (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 (\sin (π) - 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$4 (\sin (0) - 1)$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 (0 - 1)$

Paso 7.2

Resta $1$ de $0$ .

$4 \cdot - 1$

Paso 7.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4$