Cálculo Ejemplos

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Paso 1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4.6.5

Simplifica.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2.5

Simplifica.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x$ de $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Paso 1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Paso 1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Paso 1.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Paso 1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Paso 1.10

Combina $\frac{x + 25}{x}$ y $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Paso 1.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.11.1

Cancela el factor común.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Paso 1.11.2

Divide $x + 25$ por $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Paso 2

Dado que $20 p$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20 p$ fuera de la integral.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Paso 3

Sea $u = x + 25$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x + 25$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 3.1.4

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Paso 3.3

Suma $24$ y $25$ .

$u_{lower} = 49$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Paso 3.5

Suma $39$ y $25$ .

$u_{upper} = 64$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Paso 6

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $64$ y en $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.4

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.5

Multiplica $2$ por $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.6

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.8.1

Cancela el factor común.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 7.2.8.2

Reescribe la expresión.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Paso 7.2.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Paso 7.2.10

Multiplica $2$ por $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Paso 7.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Paso 7.2.12

Resta $686$ de $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Paso 7.2.13

Combina $20$ y $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Paso 7.2.14

Multiplica $20$ por $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Paso 7.2.15

Combina $p$ y $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Paso 7.2.16

Mueve $6760$ a la izquierda de $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{6760}{3} p$

Paso 9

Combina $\frac{6760}{3}$ y $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Paso 10