Cálculo Ejemplos

$\int 6 t e^{3 t} d t$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int t e^{3 t} d t$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{3 t}$ .

$6 (t (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} d t)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 t}$ .

$6 (t \frac{e^{3 t}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 t} d t)$

Paso 3.2

Combina $t$ y $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 t} d t)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 t}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \int \frac{e^{3 t}}{3} d t)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 t} d t))$

Paso 5

Sea $u = 3 t$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 10

Reescribe $6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $6 (\frac{1}{3} t e^{3 t} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$6 (\frac{1}{3} t e^{3 t} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$6 (\frac{1}{3} t e^{3 t} - \frac{1}{9} e^{3 t}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $t$ .

$6 (\frac{t}{3} e^{3 t} - \frac{1}{9} e^{3 t}) + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{t}{3}$ y $e^{3 t}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 t}) + C$

Paso 12.1.3

Combina $e^{3 t}$ y $\frac{1}{9}$ .

$6 (\frac{t e^{3 t}}{3} - \frac{e^{3 t}}{9}) + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \frac{t e^{3 t}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 t}}{9}) + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{t e^{3 t}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 t}}{9}) + C$

Paso 12.3.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{t e^{3 t}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 t}}{9}) + C$

Paso 12.3.3

Reescribe la expresión.

$2 (t e^{3 t}) + 6 (- \frac{e^{3 t}}{9}) + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{3 t}}{9}$ al numerador.

$2 (t e^{3 t}) + 6 \frac{- e^{3 t}}{9} + C$

Paso 12.4.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$2 (t e^{3 t}) + 3 (2) \frac{- e^{3 t}}{9} + C$

Paso 12.4.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$2 (t e^{3 t}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 t}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 12.4.4

Cancela el factor común.

$2 (t e^{3 t}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 t}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 12.4.5

Reescribe la expresión.

$2 (t e^{3 t}) + 2 \frac{- e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.5

Combina $2$ y $\frac{- e^{3 t}}{3}$ .

$2 (t e^{3 t}) + \frac{2 (- e^{3 t})}{3} + C$

Paso 12.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (t e^{3 t}) + \frac{- 2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 t e^{3 t} - \frac{2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.8

Para escribir $2 t e^{3 t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 t e^{3 t} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.9

Combina $2 t e^{3 t}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t e^{3 t} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 t e^{3 t} \cdot 3 - 2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.11

Simplifica el numerador.

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Paso 12.11.1

Factoriza $2 e^{3 t}$ de $2 t e^{3 t} \cdot 3 - 2 e^{3 t}$ .

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Paso 12.11.1.1

Factoriza $2 e^{3 t}$ de $2 t e^{3 t} \cdot 3$ .

$\frac{2 e^{3 t} (t \cdot 3) - 2 e^{3 t}}{3} + C$

Paso 12.11.1.2

Factoriza $2 e^{3 t}$ de $- 2 e^{3 t}$ .

$\frac{2 e^{3 t} (t \cdot 3) + 2 e^{3 t} (- 1)}{3} + C$

Paso 12.11.1.3

Factoriza $2 e^{3 t}$ de $2 e^{3 t} (t \cdot 3) + 2 e^{3 t} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{3 t} (t \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Paso 12.11.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{2 e^{3 t} (3 t - 1)}{3} + C$

$\frac{2}{3} e^{3 t} (3 t - 1) + C$