Cálculo Ejemplos

$\int 8 x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = \sqrt{2 x + 1}$ .

$8 (x^{3} (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (x^{3} \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Paso 3.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} x^{2} d x)$

Paso 3.5

Combina $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Paso 3.6

Cancela el factor común.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Paso 3.7

Divide ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x)$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1})$

Paso 5.2

Combina $\frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ y ${(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{1})$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1}))$

Paso 7

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \frac{1}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} (1 \cdot 2) d u_{2})$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \cdot 2 d u_{2})$

Paso 8.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int 2 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (2 \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}))$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 11

Sea $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Deja $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Diferencia $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 u_{2} + 1$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 11.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 11.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 11.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 11.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 11.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3})$

Paso 12.2

Combina $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ y ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{3})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3}))$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Reescribe ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ como $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Paso 14.2