Cálculo Ejemplos

$\int 5 {(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2} d v$

Paso 1

Reescribe ${(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2}$ como $v^{2} + 8$ .

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{v^{2} + 8}$ como ${(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} d v$

Paso 1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d v$

Paso 1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{1} d v$

Paso 1.5

Simplifica.

$\int 5 (v^{2} + 8) d v$

Paso 2

Multiplica $5 (v^{2} + 8)$ .

$\int 5 v^{2} + 5 \cdot 8 d v$

Paso 3

Multiplica $5$ por $8$ .

$\int 5 v^{2} + 40 d v$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 v^{2} d v + \int 40 d v$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $v$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int v^{2} d v + \int 40 d v$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $v^{2}$ con respecto a $v$ es $\frac{1}{3} v^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + \int 40 d v$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + 40 v + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $v^{3}$ .

$5 (\frac{v^{3}}{3} + C) + 40 v + C$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{5 v^{3}}{3} + 40 v + C$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{5}{3} v^{3} + 40 v + C$