Cálculo Ejemplos

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \sqrt{x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Paso 1.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6

Simplifica.

$10 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$