Cálculo Ejemplos

$\int_{5}^{10} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 10 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 10 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $10 \sin (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $100$ por $- 1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $100$ de $100$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $100$ de $- 100 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $100$ de $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $100 \cos^{2} (t)$ como ${(10 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $10$ por $10$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $100$ es constante con respecto a $t$ , mueve $100$ fuera de la integral.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$100 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{50}{1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.4

Divide $50$ por $1$ .

$50 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$50 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{3}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$50 (\frac{π \cdot 3 - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$50 (\frac{3 \cdot π - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.5

Resta $π$ de $3 π$ .

$50 (\frac{2 π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.6

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 14.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$50 (\frac{2 (π)}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 14.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Paso 15

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (0) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Paso 16.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{0 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Paso 16.1.1.3

Resta $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Paso 16.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 16.1.3

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 16.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Paso 16.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$50 \frac{π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 16.3

Combina $50$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{50 π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ al numerador.

$\frac{50 π}{3} + 50 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Paso 16.4.2

Factoriza $2$ de $50$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 (25) \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Paso 16.4.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{50 π}{3} + 25 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 16.5

Combina $25$ y $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{25 (- \sqrt{3})}{2}$

Paso 16.6

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{- 25 \sqrt{3}}{2}$

Paso 16.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$30.70924246 \dots$

Paso 18