Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{9} 2 x \sqrt{x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Paso 1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Paso 1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{4}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{4}^{9})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ en $9$ y en $4$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$2 (\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $2$ por $243$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 4.2.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Paso 4.2.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.8.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Paso 4.2.2.8.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{5}}{5})$

Paso 4.2.2.9

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 32}{5})$

Paso 4.2.2.10

Multiplica $2$ por $32$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{64}{5})$

Paso 4.2.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{486 - 64}{5}$

Paso 4.2.2.12

Resta $64$ de $486$ .

$2 (\frac{422}{5})$

Paso 4.2.2.13

Combina $2$ y $\frac{422}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 422}{5}$

Paso 4.2.2.14

Multiplica $2$ por $422$ .

$\frac{844}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{844}{5}$

Forma decimal:

$168.8$

Forma de número mixto:

$168 \frac{4}{5}$

Paso 6