Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{9} 3 \sqrt{x} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $9$ y en $4$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $2$ por $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 4.2.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.9.1

Cancela el factor común.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 4.2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Paso 4.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Paso 4.2.2.11

Multiplica $2$ por $8$ .

$3 (18 - \frac{16}{3})$

Paso 4.2.2.12

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 4.2.2.13

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 4.2.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Paso 4.2.2.15

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.15.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$3 \frac{54 - 16}{3}$

Paso 4.2.2.15.2

Resta $16$ de $54$ .

$3 (\frac{38}{3})$

Paso 4.2.2.16

Combina $3$ y $\frac{38}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3}$

Paso 4.2.2.17

Multiplica $3$ por $38$ .

$\frac{114}{3}$

Paso 4.2.2.18

Cancela el factor común de $114$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.18.1

Factoriza $3$ de $114$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3}$

Paso 4.2.2.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.18.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3 (1)}$

Paso 4.2.2.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 38}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{38}{1}$

Paso 4.2.2.18.2.4

Divide $38$ por $1$ .

$38$

Paso 5