Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Paso 4.4

Resta $3$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Paso 4.5

Factoriza el negativo.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Paso 4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Paso 4.7

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 4.8

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.10.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Paso 4.10.2

Resta $6$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Paso 10.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Paso 10.1.3

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $9$ y en $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Paso 10.2.2

Evalúa $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ en $9$ y en $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.3

Para escribir $- \frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.4

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.5.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.5.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.7

Suma $- 4$ y $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.11

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.12

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.13

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 10.2.3.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Paso 10.2.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Paso 10.2.3.15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Paso 10.2.3.16

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Paso 10.2.3.17

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Paso 10.2.3.18

Cancela el factor común de $2$ y $24$ .

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Paso 10.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Paso 10.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Paso 10.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Paso 10.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Paso 10.2.3.19

Para escribir $- \frac{2}{81}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Paso 10.2.3.20

Para escribir $\frac{1}{12}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Paso 10.2.3.21

Escribe cada expresión con un denominador común de $324$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.21.1

Multiplica $\frac{2}{81}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Paso 10.2.3.21.2

Multiplica $81$ por $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Paso 10.2.3.21.3

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Paso 10.2.3.21.4

Multiplica $12$ por $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Paso 10.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Paso 10.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.23.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Paso 10.2.3.23.2

Suma $- 8$ y $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Paso 10.2.3.24

Para escribir $\frac{5}{36}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Paso 10.2.3.25

Escribe cada expresión con un denominador común de $324$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.25.1

Multiplica $\frac{5}{36}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Paso 10.2.3.25.2

Multiplica $36$ por $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Paso 10.2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Paso 10.2.3.27

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.27.1

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Paso 10.2.3.27.2

Resta $19$ de $45$ .

$\frac{26}{324}$

Paso 10.2.3.28

Cancela el factor común de $26$ y $324$ .

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Paso 10.2.3.28.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$\frac{2 (13)}{324}$

Paso 10.2.3.28.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.28.2.1

Factoriza $2$ de $324$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Paso 10.2.3.28.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Paso 10.2.3.28.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{162}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{13}{162}$

Forma decimal:

$0.08024691 \dots$

Paso 12