Cálculo Ejemplos

$\int 4 x^{2} e^{2 x} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{2} e^{2 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Paso 3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

Paso 3.5

Combina $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ y $x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Paso 3.6.2

Divide $e^{2 x} x$ por $1$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Paso 5.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

Paso 7

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

Paso 8

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Paso 12

Reescribe $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ como $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ al numerador.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (2) \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 \cdot 2 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.2.4

Reescribe la expresión.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (- x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Paso 14.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + e^{2 x} + C$

Paso 14.3

Elimina los paréntesis.

$2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + C$