Cálculo Ejemplos

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Paso 2

Factoriza $\tan^{2} (x)$ .

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Paso 7

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Paso 8

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Paso 12.4.2

Cancela el factor común.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Paso 12.4.3

Reescribe la expresión.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$