Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.3

Combina $3$ y $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.5

Combina $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.7

Multiplica $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3.8

Multiplica $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ por $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Paso 2.2.3.9

Multiplica $3$ por $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Paso 2.2.3.10

Multiplica $4$ por $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.11

Cancela el factor común de $48$ y $108$ .

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Paso 2.2.3.11.1

Factoriza $12$ de $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.11.2.1

Factoriza $12$ de $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.12

Cancela el factor común de $\sec (t)$ y $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 2.2.3.12.1

Factoriza $\sec (t)$ de $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.12.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.13

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 2.2.3.13.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.13.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{4}{9}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{4}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Paso 4.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Paso 4.3

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Paso 5

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$