Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} - x + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - x + 9) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - x + 9) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.4.2

Divide $x^{2} - x + 9$ por $1$ .

$x^{2} - x + 9 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

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Paso 1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - x + 9 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5.1.2

Divide $A x + B$ por $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 9)}^{2}$ y $x^{2} + 9$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 9) \cdot 1}$

Paso 1.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 9) \cdot 1}$

Paso 1.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 9)}{1}$

Paso 1.1.5.2.2.4

Divide $(C x + D) (x^{2} + 9)$ por $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 9)$

Paso 1.1.5.3

Expande $(C x + D) (x^{2} + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x (x^{2} + 9) + D (x^{2} + 9)$

Paso 1.1.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 9 + D (x^{2} + 9)$

Paso 1.1.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.5.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4.2

Mueve $9$ a la izquierda de $C x$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + 9 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 9$

Paso 1.1.5.4.3

Mueve $9$ a la izquierda de $D$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + 9 C x + D x^{2} + 9 D$

Paso 1.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.6.1

Mueve $B$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + C x^{3} + 9 C x + D x^{2} + B + 9 D$

Paso 1.1.6.2

Mueve $9 C x$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 9 C x + B + 9 D$

Paso 1.1.6.3

Mueve $A x$ .

$x^{2} - x + 9 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 9 C x + B + 9 D$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = D$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A + 9 C$

Paso 1.2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$9 = B + 9 D$

Paso 1.2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = C$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

$0 = C$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.2.2

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 1 = A + 9 C$ por $0$ .

$- 1 = A + 9 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.3.1

Simplifica $A + 9 (0)$ .

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Paso 1.3.2.3.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$- 1 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.2.3.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $D$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Paso 1.3.3.2

Reemplaza todos los casos de $D$ en $9 = B + 9 D$ por $1$ .

$9 = B + 9 (1)$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $9 = B + 9$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $B + 9 = 9$ .

$B + 9 = 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 9 - 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $9$ de $9$ .

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 0 A = - 1 D = 1 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 0, A = - 1, D = 1, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 9}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{- 1 x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5.1.2

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{- x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$\int - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2} + 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 4.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{2 u^{2}} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Reordena $x^{2}$ y $9$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Paso 9.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 11.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2 u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 9)} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 9)} + \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$