Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{4}}{1 + x} d x$

Paso 1

Reordena $1$ y $x$ .

$\int \frac{x^{4}}{x + 1} d x$

Paso 2

Divide $x^{4}$ por $x + 1$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Paso 2.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Paso 2.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Paso 2.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Paso 2.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Paso 2.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Paso 2.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Paso 2.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Paso 2.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Paso 2.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Paso 2.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Paso 2.21

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 10

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$