Cálculo Ejemplos

$\int \frac{w^{2} - w + 6}{w^{3} + 3 w} d w$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $w$ de $w^{3} + 3 w$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $w$ de $w^{3}$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w \cdot w^{2} + 3 w}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $w$ de $3 w$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w \cdot w^{2} + w \cdot 3}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $w$ de $w \cdot w^{2} + w \cdot 3$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w (w^{2} + 3)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{w} + \frac{B w + C}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $w (w^{2} + 3)$ .

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w (w^{2} + 3))}{w (w^{2} + 3)} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $w$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w (w^{2} + 3))}{w (w^{2} + 3)} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w^{2} + 3)}{w^{2} + 3} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $w^{2} + 3$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w^{2} + 3)}{w^{2} + 3} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.5.2

Divide $w^{2} - w + 6$ por $1$ .

$w^{2} - w + 6 = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $w$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$w^{2} - w + 6 = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A (w^{2} + 3)$ por $1$ .

$w^{2} - w + 6 = A (w^{2} + 3) + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6.4

Cancela el factor común de $w^{2} + 3$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Paso 1.1.6.4.2

Divide $(B w + C) (w)$ por $1$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + (B w + C) (w)$

Paso 1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B w \cdot w + C w$

Paso 1.1.6.6

Multiplica $w$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.6.1

Mueve $w$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B (w \cdot w) + C w$

Paso 1.1.6.6.2

Multiplica $w$ por $w$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B w^{2} + C w$

Paso 1.1.7

Mueve $3 A$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + B w^{2} + C w + 3 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $w^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $w$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $w$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 3 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 1 = C$

$6 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 1 = C$

$6 = 3 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = - 1$ .

$C = - 1$

$1 = A + B$

$6 = 3 A$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $3 A = 6$ .

$3 A = 6$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Paso 1.3.2.2

Divide cada término en $3 A = 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.2.2.1

Divide cada término en $3 A = 6$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Paso 1.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Paso 1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $2$ .

$1 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 1$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $1 = 2 + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 + B = 1$ .

$2 + B = 1$

$A = 2$

$C = - 1$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - 2$

$A = 2$

$C = - 1$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 2 C = - 1$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 2, C = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{w} + \frac{B w + C}{w^{2} + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1}{w^{2} + 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{2}{w} + \frac{(- 1) \cdot w - 1}{w^{2} + 3}$

Paso 1.5.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 w$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1}{w^{2} + 3}$

Paso 1.5.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1 \cdot 1}{w^{2} + 3}$

Paso 1.5.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (w) - 1 (1)$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 (w + 1)}{w^{2} + 3}$

Paso 1.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2}{w} - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{w} d w + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $w$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{w} d w + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{w}$ con respecto a $w$ es $\ln (| w |)$ .

$2 (\ln (| w |) + C) + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $w$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| w |) + C) - \int \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{w + 1}{w^{2} + 3}$ en dos fracciones.

$2 (\ln (| w |) + C) - \int \frac{w}{w^{2} + 3} + \frac{1}{w^{2} + 3} d w$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{w}{w^{2} + 3} d w + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 8

Sea $u = w^{2} + 3$ . Entonces $d u = 2 w d w$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = w d w$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = w^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d w}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $w^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d w} [w^{2} + 3]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $w^{2} + 3$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 w + \frac{d}{d w} [3]$

Paso 8.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $3$ con respecto a $w$ es $0$ .

$2 w + 0$

Paso 8.1.5

Suma $2 w$ y $0$ .

$2 w$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Paso 12

Reordena $w^{2}$ y $3$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{3 + w^{2}} d w)$

Paso 13

Reescribe $3$ como ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + w^{2}} d w)$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + w^{2}}$ con respecto a $w$ es $\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{w}{\sqrt{3}}) + C$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{w}{\sqrt{3}}) + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $\arctan (\frac{w}{\sqrt{3}})$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \frac{\arctan (\frac{w}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

Paso 15.2

Simplifica.

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| u |)}{2} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w^{2} + 3$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Para escribir $\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Paso 17.2

Para escribir $\frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Paso 17.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 17.3.1

Multiplica $\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Paso 17.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Paso 17.3.3

Multiplica $\frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2}) + C$

Paso 17.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6}) + C$

Paso 17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \ln (| w |) - \frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3 + \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 17.5

Simplifica el numerador.

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Paso 17.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| w^{2} + 3 |)$ .

$2 \ln (| w |) - \frac{3 \cdot \ln (| w^{2} + 3 |) + \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6} + C$

Paso 17.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}$ .

$2 \ln (| w |) - \frac{3 \ln (| w^{2} + 3 |) + 2 \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{6} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$2 \ln (| w |) - \frac{1}{6} (3 \ln (| w^{2} + 3 |) + 2 \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} w) \sqrt{3}) + C$