Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Paso 1.1.3

Multiplica por $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Paso 1.1.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Paso 1.1.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Paso 1.3

Reescribe $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Paso 1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int x (x - 1) d x$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Paso 1.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Paso 1.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Paso 1.8

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$