Cálculo Ejemplos

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $y$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3} - 4 y$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Paso 2.1.1.1.2

Factoriza $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Paso 2.1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza.

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Paso 2.1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Paso 2.1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Paso 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Paso 2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.7

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 2.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.1.2

Divide $A ((y + 2) (y - 2))$ por $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.2

Expande $(y + 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.3

Combina los términos opuestos en $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 2.1.8.3.1

Reordena los factores en los términos $y \cdot - 2$ y $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.3.2

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.3.3

Suma $y \cdot y$ y $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.4.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.7

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 2.1.8.7.1

Cancela el factor común.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.7.2

Divide $(B) (y (y - 2))$ por $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.8

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.9

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.10

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.11

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.13

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 2.1.8.13.1

Cancela el factor común.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Paso 2.1.8.13.2

Divide $(C) (y (y + 2))$ por $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Paso 2.1.8.14

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Paso 2.1.8.15

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Paso 2.1.8.16

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Paso 2.1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Paso 2.1.8.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Paso 2.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.9.1

Mueve $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Paso 2.1.9.2

Mueve $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Paso 2.1.9.3

Mueve $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B + C$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 4 A$

Paso 2.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 4 A$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.1.2

Divide cada término en $- 4 A = 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Divide cada término en $- 4 A = 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B + C$ por $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Paso 2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{4} - C$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = - 2 B + 2 C$ por $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.1.4

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2.1.2

Suma $2 C$ y $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5

Resuelve $C$ en $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ .

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Paso 2.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3

Divide cada término en $4 C = \frac{1}{2}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.5.3.1

Divide cada término en $4 C = \frac{1}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.3.5.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $\frac{1}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = \frac{1}{4} - C$ por $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.6.2.1

Simplifica $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

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Paso 2.3.6.2.1.1

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6.2.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.6.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.6.2.1.4

Resta $1$ de $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5.5

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Paso 2.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Paso 2.5.7

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 8

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 8.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Paso 11

Sea $u_{2} = y - 2$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = y - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 11.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\ln (| y |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{1}{8}$ y $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Paso 15.5

Expande $(y + 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Paso 15.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Paso 15.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.6

Combina los términos opuestos en $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 15.6.1

Reordena los factores en los términos $y \cdot - 2$ y $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.6.2

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.6.3

Suma $y \cdot y$ y $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.7

Simplifica cada término.

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Paso 15.7.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Paso 15.7.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.9

Para escribir $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.10.1

Multiplica $\frac{\ln (| y |)}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.10.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Paso 15.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Paso 15.12

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 15.12.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Paso 15.12.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Paso 15.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$