Cálculo Ejemplos

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Paso 1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Paso 2

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Paso 3

Multiplica $- 2$ por $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Paso 4

Sea $u = 25 - y^{2}$ . Entonces $d u = - 2 y d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 25 - y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Como $25$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $25$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 y$

Paso 4.1.4

Resta $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Paso 4.3.2

Resta $25$ de $25$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Paso 4.5.2

Suma $25$ y $0$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 5.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $19600$ y $2$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $2$ de $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.1.2.2.4

Divide $9800$ por $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 9.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Paso 11

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $25$ y en $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.3.1

Cancela el factor común.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.3.2

Reescribe la expresión.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.5

Multiplica $2$ por $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 12.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 12.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.8.1

Cancela el factor común.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 12.2.8.2

Reescribe la expresión.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Paso 12.2.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Paso 12.2.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 12.2.11

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 12.2.11.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 12.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 12.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 12.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 12.2.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Paso 12.2.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Paso 12.2.13

Suma $\frac{250}{3}$ y $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Paso 12.2.14

Combina $9800$ y $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Paso 12.2.15

Multiplica $9800$ por $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2450000}{3}$

Forma decimal:

$816666.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$816666 \frac{2}{3}$

Paso 14