Cálculo Ejemplos

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} {(6 - y^{2})}^{2} d y$

Paso 1

Expande ${(6 - y^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(6 - y^{2})}^{2}$ como $(6 - y^{2}) (6 - y^{2})$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} (6 - y^{2}) (6 - y^{2}) d y$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 (6 - y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 6 - y^{2} (- y^{2}) d y$

Paso 1.5

Mueve $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - y^{2} (- y^{2}) d y$

Paso 1.6

Mueve $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.7

Multiplica $6$ por $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.8

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + 1 y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.11

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Paso 1.13

Suma $2$ y $2$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{4} d y$

Paso 1.14

Resta $6 y^{2}$ de $- 6 y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 12 y^{2} + y^{4} d y$

Paso 1.15

Reordena $- 12 y^{2}$ y $y^{4}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + y^{4} - 12 y^{2} d y$

Paso 1.16

Mueve $36$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} - 12 y^{2} + 36 d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$p (\int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$p (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{5}$ y $y^{5}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 5

Dado que $- 12$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 12$ fuera de la integral.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}}$ y $36 y]_{0}^{\sqrt{6}}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5} + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{y^{5}}{5} + 36 y$ en $\sqrt{6}$ y en $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $\sqrt{6}$ y en $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{5}$ como $\sqrt{6^{5}}$ .

$p (\frac{\sqrt{6^{5}}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 9.2.3.4.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 (0)}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.4.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.5

Multiplica $36$ por $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8

Suma $\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6}$ y $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.9

Reescribe ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.10

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 9.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 9.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - 0))$

Paso 9.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} + 0))$

Paso 9.2.3.14

Suma $\frac{\sqrt{216}}{3}$ y $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 \frac{\sqrt{216}}{3})$

Paso 9.2.3.15

Combina $- 12$ y $\frac{\sqrt{216}}{3}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 12 \sqrt{216}}{3})$

Paso 9.2.3.16

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.16.1

Factoriza $3$ de $- 12 \sqrt{216}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3})$

Paso 9.2.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.16.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 (1)})$

Paso 9.2.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 4 \sqrt{216}}{1})$

Paso 9.2.3.16.2.4

Divide $- 4 \sqrt{216}$ por $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe $7776$ como $36^{2} \cdot 6$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $1296$ de $7776$ .

$p (\frac{\sqrt{1296 (6)}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Paso 9.3.1.2

Reescribe $1296$ como $36^{2}$ .

$p (\frac{\sqrt{36^{2} \cdot 6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Paso 9.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Paso 9.3.3

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

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Paso 9.3.3.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{36 (6)})$

Paso 9.3.3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Paso 9.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.5

Para escribir $36 \sqrt{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.6

Combina $36 \sqrt{6}$ y $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + \frac{36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.8

Multiplica $5$ por $36$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.9

Suma $36 \sqrt{6}$ y $180 \sqrt{6}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Paso 9.3.10

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6})$

Paso 9.3.11

Para escribir $- 24 \sqrt{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 9.3.12

Combina $- 24 \sqrt{6}$ y $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5})$

Paso 9.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$p \frac{216 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5}$

Paso 9.3.14

Multiplica $5$ por $- 24$ .

$p \frac{216 \sqrt{6} - 120 \sqrt{6}}{5}$

Paso 9.3.15

Resta $120 \sqrt{6}$ de $216 \sqrt{6}$ .

$p \frac{96 \sqrt{6}}{5}$

Paso 9.3.16

Combina $p$ y $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ .

$\frac{p (96 \sqrt{6})}{5}$

Paso 9.3.17

Mueve $96$ a la izquierda de $p$ .

$\frac{96 p \sqrt{6}}{5}$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$\frac{96 \sqrt{6}}{5} p$

Paso 10

Combina $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ y $p$ .

$\frac{96 \sqrt{6} p}{5}$

Paso 11