Cálculo Ejemplos

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Paso 1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Paso 1.4

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Paso 1.5

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Paso 1.6

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Paso 1.7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Paso 1.8

Combina $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ y $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Paso 1.9

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Paso 1.10

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Paso 1.11

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Paso 1.12

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.13.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.14

Multiplica $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

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Paso 1.14.1

Combina $\tan (x)$ y $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Paso 1.14.2

Combina $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ y $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Paso 1.15

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Paso 1.16

Separa las fracciones.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Paso 1.17

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Paso 1.18

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.19

Simplifica.

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Paso 1.19.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.19.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.20

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.21

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.22

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.23

Reescribe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24

Simplifica.

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Paso 1.24.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24.3

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.24.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.25

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.25.1

Mueve $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Paso 1.25.2

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 1.25.2.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Paso 1.25.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Paso 1.25.3

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.26

Combina $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ y $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Paso 1.27

Factoriza $\cos^{3} (x)$ de $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Paso 1.28

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Paso 1.29

Suma $3$ y $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.30

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.31

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{6} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.31.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{6} (x)$ .

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Paso 1.31.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.31.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Paso 1.31.2

Suma $1$ y $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$