Cálculo Ejemplos

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y^{2}$ y $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Paso 1.4

Simplifica.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Paso 2.2

Reordena $y$ y $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Paso 2.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Paso 2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Paso 2.6

Factoriza el negativo.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Paso 2.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Paso 2.8

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Paso 2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Paso 2.10

Suma $1$ y $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$