Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ es positiva.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.2

Reorganiza los términos.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Paso 2.2.1.2

Combina $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ y $\sec (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

Paso 2.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

Paso 2.2.1.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ por $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $125$ por $5$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{625}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{625}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 4

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 6

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 7

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (t)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (5 x)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$