Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $\tan (x + h) \cos (x + h)$ en términos de senos y cosenos.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Paso 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Paso 4.1

Usa la fórmula de suma para el seno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el término $\sin (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el término $\cos (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.6

Evalúa el límite de $\sin (x)$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 5.1.2.7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.8.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8.1.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8.1.4

Multiplica $\cos (x)$ por $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8.2

Combina los términos opuestos en $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

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Paso 5.1.2.8.2.1

Suma $\sin (x)$ y $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.8.2.2

Resta $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

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Paso 5.3.3.1

Como $\sin (x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\sin (x) \cos (h)$ con respecto a $h$ es $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2

La derivada de $\cos (h)$ con respecto a $h$ es $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $\cos (x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\cos (x) \sin (h)$ con respecto a $h$ es $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4.2

La derivada de $\sin (h)$ con respecto a $h$ es $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5

Como $- \sin (x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.6

Simplifica.

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Paso 5.3.6.1

Suma $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Paso 5.4

Divide $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Paso 6.2

Mueve el término $\sin (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Paso 6.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Paso 6.4

Mueve el término $\cos (x)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Paso 6.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Paso 8.1.2

Multiplica $- \sin (x) \cdot 0$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $0$ por $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Paso 8.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$0 + \cos (x)$

Paso 8.2

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 9