Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[1, 16]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 16]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ en $16$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{4}{5}$ y $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $4$ por $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Paso 7.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Paso 7.2.10

Resta $4$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Paso 8

Resta $1$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{15}$ por $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Paso 9.2

Multiplica $15$ por $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Paso 10