Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = - (\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 2.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 2.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x}$

Paso 2.6.5

Simplifica.

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x}$

Paso 3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

Paso 4

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

Paso 5.1.2

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ .

$- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

Paso 5.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

Paso 6

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} - (- \frac{\sqrt{y x}}{x})}{h}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Multiplica $- - \frac{\sqrt{y x}}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} + 1 \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

Paso 7.1.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} + \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

Paso 7.1.2

Para escribir $- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

Paso 7.1.3

Para escribir $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\sqrt{y x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 7.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{(x + h) x} + \frac{\sqrt{y x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{(x + h) x} + \frac{\sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.4.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{x (x + h)} + \frac{\sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- \sqrt{y (x + h)} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6

Reescribe $\frac{- \sqrt{y (x + h)} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y (x + h)}$ como ${(y (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(y (x + h))}^{\frac{1}{2}} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y x}$ como ${(y x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(y (x + h))}^{\frac{1}{2}} x + {(y x)}^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + {(y x)}^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.4

Aplica la regla del producto a $y x$ .

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.6.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7

Reescribe $- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.7.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.7.1.1

Reordena la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.7.1.1.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{\frac{- {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.1.2

Mueve ${(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.1.3

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.1.4

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.4

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.5

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.1.6

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{1} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.7.3

Simplifica.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.8

Reduce la expresión $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.6.8.1

Factoriza $x$ de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)$ .

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h))}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h))}{x (x + h)}}{h}$

Paso 7.1.6.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x + h}}{h}$

Paso 7.1.7

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) - (- x y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) - (- x y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $y^{\frac{1}{2}} h$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) - (- y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) - (- y^{\frac{1}{2}} h)$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.9.1

Reescribe $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)$ como $- 1 (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)$ .

$\frac{- 1 (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 7.9.3

Reordena los factores en $- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - h y^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Paso 8