Cálculo Ejemplos

$y = {(x - 1)}^{3}$ , $y = x - 1$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

${(x - 1)}^{3} = x - 1$

Paso 1.2

Resuelve ${(x - 1)}^{3} = x - 1$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{3} - x = - 1$

Paso 1.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Paso 1.2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Paso 1.2.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Paso 1.2.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Paso 1.2.1.2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = - 1$

Paso 1.2.1.3

Resta $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = - 1$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1 = 0$

Paso 1.2.3

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

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Paso 1.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 0 = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.2.4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 1.2.4.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Paso 1.2.4.1.3

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1 + y = x - 1$

Paso 1.2.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

Paso 1.2.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.8

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.8.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = (0) - 1$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = (0) - 1$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0 - 1$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (0) - 1$

Paso 1.3.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = (2) - 1$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = (2) - 1$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 - 1$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (2) - 1$

Paso 1.4.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$y = 1$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = (1) - 1$

Paso 1.5.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = (1) - 1$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 - 1$

Paso 1.5.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (1) - 1$

Paso 1.5.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$y = 0$

Paso 1.6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

Paso 2

Simplifica ${(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 2.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x - \int_{0}^{1} x - 1 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - (x - 1) d x$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x - - 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1 d x$

Paso 4.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x + 0$

Paso 4.3.1.2

Suma $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$ y $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Paso 4.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Paso 4.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Paso 4.6

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Paso 4.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Paso 4.9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Paso 4.10

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Paso 4.11

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 4.11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.11.2.1

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 4.11.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 4.11.2.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4

Simplifica.

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Paso 4.11.2.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.6

Suma $\frac{1}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 4.11.2.4.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.11.2.4.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} + 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.11

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.12

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.13

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.11.2.4.13.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.11.2.4.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.13.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - 1 + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.15

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.17

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.2.4.17.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1 - 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.17.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.19

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.11.2.4.20

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 4.11.2.4.21

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.11.2.4.21.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 4.11.2.4.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.11.2.4.21.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.11.2.4.21.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.11.2.4.21.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 4.11.2.4.21.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 4.11.2.4.22

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 4.11.2.4.23

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.11.2.4.24

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 4.11.2.4.25

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.2.4.25.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 4.11.2.4.25.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{4} + 1$

Paso 4.11.2.4.26

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 4.11.2.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 + 4}{4}$

Paso 4.11.2.4.28

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 5

$A r e a = \int_{1}^{2} x - 1 d x - \int_{1}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x$

Paso 6

Integra para obtener el área entre $1$ y $2$ .

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Paso 6.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{2} x - 1 - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) d x$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 1 - x^{3} - (- 3 x^{2}) - (3 x) - - 1$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - (3 x) - - 1$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - - 1$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

$\int_{1}^{2} x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 d x$

Paso 6.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.3.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 0$

Paso 6.3.1.2

Suma $x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ y $0$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$

Paso 6.3.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

$\int_{1}^{2} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x d x$

Paso 6.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} - x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Paso 6.11

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x$

Paso 6.12

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.13

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.13.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.13.2.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.13.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.13.2.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$- (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.5

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.13.2.4.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{15}{4} + 3 \frac{8 - 1}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.11

Resta $1$ de $8$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{7}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.12

Combina $3$ y $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.13

Multiplica $3$ por $7$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{21}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.14

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 6.13.2.4.14.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.13.2.4.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.14.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.14.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{15}{4} + \frac{7}{1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.14.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$- \frac{15}{4} + 7 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.15

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.16

Combina $7$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 6.13.2.4.18.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{- 15 + 28}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.18.2

Suma $- 15$ y $28$ .

$\frac{13}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.20

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.13.2.4.20.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.20.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.20.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.20.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.13.2.4.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Paso 6.13.2.4.22

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.13.2.4.23

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.13.2.4.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13}{4} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 6.13.2.4.25

Simplifica el numerador.

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Paso 6.13.2.4.25.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Paso 6.13.2.4.25.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{3}{2})$

Paso 6.13.2.4.26

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Paso 6.13.2.4.27

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 6}{2}$

Paso 6.13.2.4.28

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 6.13.2.4.28.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Paso 6.13.2.4.28.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.28.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Paso 6.13.2.4.28.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.13.2.4.28.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{4} + \frac{- 3}{1}$

Paso 6.13.2.4.28.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{13}{4} - 3$

Paso 6.13.2.4.29

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.13.2.4.30

Combina $- 3$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Paso 6.13.2.4.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 6.13.2.4.32

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.13.2.4.32.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{13 - 12}{4}$

Paso 6.13.2.4.32.2

Resta $12$ de $13$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 7

Suma las áreas $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 1}{4}$

Paso 7.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 8