Cálculo Ejemplos

$t^{- 3} (2 t - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{- 3}$ y $g (t) = 2 t - 2$ .

$t^{- 3} \frac{d}{d t} [2 t - 2] + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$t^{- 3} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{- 3} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$t^{- 3} (2 + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{- 3} (2 + 0) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$t^{- 3} \cdot 2 + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{- 3}$ .

$2 \cdot t^{- 3} + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$2 t^{- 3} + (2 t - 2) (- 3 t^{- 4})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t^{- 3} + 2 t (- 3 t^{- 4}) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 t^{- 3} - 6 t \cdot t^{- 4} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2.2

Multiplica $t$ por $t^{- 4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $t^{- 4}$ .

$2 t^{- 3} - 6 (t^{- 4} t) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $t^{- 4}$ por $t$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$2 t^{- 3} - 6 (t^{- 4} t^{1}) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 4 + 1} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2.2.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 3} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 3} + 6 t^{- 4}$

Paso 3.2.4

Resta $6 t^{- 3}$ de $2 t^{- 3}$ .

$- 4 t^{- 3} + 6 t^{- 4}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Paso 3.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{t^{3}}$ .

$\frac{- 4}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{t^{3}} + 6 \frac{1}{t^{4}}$

Paso 3.3.5

Combina $6$ y $\frac{1}{t^{4}}$ .

$- \frac{4}{t^{3}} + \frac{6}{t^{4}}$