Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Paso 1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 9 x + 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina ${(9 x + 9)}^{2}$ y $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.6

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 3.7

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Paso 3.8.2

Combina $\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ y $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Paso 3.8.3

Mueve $9$ a la izquierda de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe ${(9 x + 9)}^{2}$ como $(9 x + 9) (9 x + 9)$ .

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Paso 4.2

Expande $(9 x + 9) (9 x + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Paso 4.3.2

Suma $81 x$ y $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $81$ por $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Paso 4.5.2

Multiplica $162$ por $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Paso 4.5.3

Multiplica $9$ por $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$