Cálculo Ejemplos

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x) \cos (y)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Paso 5.2

Resta $3 \cos (x) \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ por $- 3 \sin (x) \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ por $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Paso 5.3.3.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.3.3.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Paso 5.3.3.4

Convierte de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ a $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$